8.1 二重积分

1．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=2, y=x$ 和曲线 $\displaystyle x y=1$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2, \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant x\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{x^{3}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=y, y=1, x=2$ 围成的三角形．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{y^{2}+x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, y=1$ 及 $\displaystyle x=0$ 围成。．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且为奇函数，区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=4-x^{2}$ 与 $\displaystyle y=-3 x, x=1$ 所围成，求 $\displaystyle I=\iint_{D}\left(1+f(x) \ln \left(y+\sqrt{1+y^{2}}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} x\left(1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 与 $\displaystyle x=-1, y=1$ 所围成，$\displaystyle f(x)$ 为实值连续函数．
（8） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2} y+y^{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a x$ 。挻安大学 2000）

2．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=1$ 及 $\displaystyle y=x$ 围成。曲阜师大 2007，矿业大学 2004，深圳大学 2006，东南大学 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=x, x=0$ 及 $\displaystyle y=1$ 围成。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由平面上曲线 $\displaystyle y=x$ 与 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。武汉大学1992）分析：由于被积函数 $\displaystyle \mathrm{e}^{-y^{2}}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先 $\displaystyle x$ 后 $\displaystyle y$ 的二次积分．

3．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=0, y=x$ 及 $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}$ 所围成．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle y=0, y=x$ 及 $\displaystyle x=\pi$ 所围成。．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x, y=1, x=0$ 围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 及抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 围成的区域。
（5） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x$ 与抛物线 $\displaystyle x=y^{2}$ 所围成的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x^{2}, x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成。

分析：由于被积函数 $\displaystyle \frac{\sin y}{y}$ 的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对 $\displaystyle x$ 后对 $\displaystyle y$ 的二次积分．同理被积函数 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 的原函数也不能用初等函数表示，应化为先对 $\displaystyle y$ 后对 $\displaystyle x$ 的二次积分．

4．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{[0, \pi] \times[0,1]} y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1002&width=1003&top_left_y=7197&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．14}
\end{figure}

5．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{9} y^{7}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一象限的区域．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=|x|, x^{2}+y^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 围成且 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, a<b$ 其中 $\displaystyle D: a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 a y=0$ 与 $\displaystyle y \geqslant-x$ 围成 $\displaystyle (a>0)$ ．
分析：由于积分区域 $\displaystyle D$ 关于 $\displaystyle x$ 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分．又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可。

6．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $\displaystyle I$ 2003）
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）

分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．

7．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{e}^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=1:$ 华中师大 2007）
（2） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：南开大学 2004）
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=1$ ：中山大学 2008）
（4） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .(a=2$ ：南昌大学 2003，东华大学 2010）

8．积分区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（2） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

9．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 x\right\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由圆 $\displaystyle x^{2}+(y+1)^{2}=1$ 与直线 $\displaystyle y=-x$ 围成的小部分区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(y>0),(x-2 a)^{2}+y^{2}=4 a^{2}(y>0)$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．

10．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．

11．设一元函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明：
$\displaystyle \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $\displaystyle f(t)=t^{2}$ ））

12．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \| x|+|y| \leqslant 1\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

13．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=a, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．$\displaystyle (a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $\displaystyle 2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的区域．

14．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $\displaystyle D$ 为直线 $\displaystyle x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．

15．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为
$\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $\displaystyle h>0$ ．

16．设 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=2, x=y$ 及 $\displaystyle 4 x=y, x>0, y>0$ 围成，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

17．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(0<a<b, 0<c<d)$ 围成的三角形．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $\displaystyle y^{2}=3 x$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x, a y=x^{2}$ 及 $\displaystyle b y=x^{2}(0<a<b, 0<p<q)$ 围成．
（5） $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x>0, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．

18．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $\displaystyle x=c, y=c$ 围成，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．

19．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $\displaystyle f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $\displaystyle D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．

20．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-4\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{1}{4}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 3$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|\frac{y+x}{\sqrt{2}}-x^{2}-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．

21．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。

22．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．

23．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

24．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．

25．设 $\displaystyle [a]$ 表示 $\displaystyle a$ 的最大整数部分，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由不等式 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2$ 所确定的区域．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}<16}\left[\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left[y-3 x^{2}\right]} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 3 x^{2} \leqslant y \leqslant 3\right\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{x^{2}<y<3} \sqrt{\left[y-x^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left[x^{2}-y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{2 i}{n}+\frac{j}{n}\right]$ ．

26．证明下列命题，并计算二重积分．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{S} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ． $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-3,3]$ 上连续．
（2）计算 $\displaystyle \iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 。
（3）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
（4）计算 $\displaystyle \iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．

27．计算下列各题．
（1）设 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant y, x \geqslant 0, f(x, y)$ 连续，$\displaystyle f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}-\frac{8}{\pi} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ．

（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=0, y=x^{2}, x=1$ 所围成的平面区域，且 $\displaystyle f(x, y)=x y+\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值．
（3）设函数 $\displaystyle f(t)$ 满足 $\displaystyle f(t)=1+\iint_{D} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为圆环 $\displaystyle 4 a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 t^{2}, a>0$为常数，求 $\displaystyle f(t)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(t)=2 \iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}$ ，试求 $\displaystyle f(t)$ ．

28．设 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有连续导函数，$\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}, F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $\displaystyle t \in(-\infty,+\infty)$ ．（1）证明：$\displaystyle F(t)$ 可导，并求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增，则 $\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增．

29．设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，求解下列各题．
（1）若 $\displaystyle f(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ 。南京财大 2007，西安电子科大 2004）
（2）若 $\displaystyle f(1)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(1)$ ．
（3）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{4}}$ ．
（4）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．记 $\displaystyle D_{t}$ 为圆心在原点，半径为 $\displaystyle t$ 的圆．若 $\displaystyle t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \iint_{D_{t}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma \sim a t^{k}$ ，试求常数 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值．

30．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<r^{2}} \mathrm{e}^{2 x y} \cos \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 2 r^{2}} \mathrm{e}^{x y^{2}} \cos \left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle D_{r}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\}, r>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）

31．求下列极限．
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面上有界，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<n^{2}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f^{\prime}(u)=A>0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x, y \geqslant 0\right\}$ ， $\displaystyle R>0$ ．（1）证明： $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} f(u)=+\infty$ ；（2）求 $\displaystyle I_{R}=\iint_{D} f^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；（3）求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{I_{R}}{R^{2}}$ ．（西北大学 2013，南开大
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\iint_{D}\left|f^{n}(x, y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

33．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(a)=0$ ，试求极限： $\displaystyle \lim _{b \rightarrow a^{+}} \frac{1}{(a-b)^{3}} \iint_{D} x f(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=a, y=x, x=b(b>a)$ 所围成的区域。
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u^{2}} \arctan (1+t) \mathrm{d} t}{x(1-\cos x)}$ ．
（3）设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1], f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的二元函数，$\displaystyle f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{4}}{4}}} \int_{0}^{x^{2}} \mathrm{~d} t \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=12$ 的某邻域内可导，且 $\displaystyle f(12)=0, \lim _{x \rightarrow 12} f^{\prime}(x)=1001$ ，试求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 12} \frac{\int_{12}^{x} u \int_{u}^{12} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} u}{(12-x)^{3}}$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=2004$ ，求极限：

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{(1-x)^{3}} 6 \int_{1}^{x} y\left(\int_{y}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} y . \text { }
$$

（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{u^{2}}^{0} t f(t) \mathrm{d} t$ ．

34．计算下列累次积分。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{~d} y \int_{y-\pi}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos \frac{y}{x} \cdot \sin x^{2}}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．

35．计算下列累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．

36．交换下列积分的积分顺序．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。西安交大 1998）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{2 y}}^{\sqrt{8-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 。西安交大 2010）
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} y \int_{0}^{3-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（桂林电子科大 2009）
（10） $\displaystyle \int_{-2}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2+x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{2-x}{2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

37．计算下列累次积分。
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．

38．计算下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。

39．求平面区域的面积．
（1）求由抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$ ．
（2）求由曲线 $\displaystyle y^{2}=2 p x, y^{2}=2 q x, x^{2}=2 r y, x^{2}=2 s y$ 所围成的平面区域 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle (0<p<q, 0<r<s)$ ．
（3）求由曲线 $\displaystyle x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的区域的面积．
（4）用二重积分变量替换公式计算抛物线 $\displaystyle y^{2}=m x, y^{2}=n x$ 及直线 $\displaystyle y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成的区域的面积．其中 $\displaystyle 0<m<n, 0<\alpha<\beta$ ．
（5）已知 $\displaystyle 0<a<b, 0<p<q$ ，求由双曲线 $\displaystyle x y=p, x y=q$ 及直线 $\displaystyle y=a x, y=b x$ 在第一象限所围成的图形的面积．
（6）求由椭圆 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1$ 所围成的区域的面积，其中 $\displaystyle a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ．
（7）求由椭圆 $\displaystyle A x^{2}+2 B x y+C y^{2}=1$ 所围成的面积 $\displaystyle S$ ，其中 $\displaystyle A, C>0, A C-B^{2}>0, A, B, C$ 均为常数．
（8）求由下列曲线所围成的面积：$\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2} y}{c^{3}}$ ．
（9）求区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geqslant a^{2}$ 围于曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 内部之部分的面积．
（10）求由曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 所围成的区域的面积．

40．设圆盘 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y+b)^{2} \leqslant R^{2}$ 上各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量。华东师大2009）

41．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} f(1-y) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D$ 为三角形区域 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u)$ 为连续偶函数，试证明 $\displaystyle \iint_{D} f(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $\displaystyle D$ 为正方形： $\displaystyle |x| \leqslant a,|y| \leqslant a$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续偶函数，利用对 $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y$ 首先设 $\displaystyle u=x-y$ 再交换累次积分顺序的方法证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-a}^{a} f(x-y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 a}(2 a-u) f(u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x), \forall x, y \in[0,1]$ ，证明：

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(1-x, 1-y) \mathrm{d} y \text { 。 }
$$

42．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，证明：对任一实数 $\displaystyle x$ ，有

$$
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t . }
$$

（2）试证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=1$ ；（2）设 $\displaystyle u=x y, v=y$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u$ 。进一步有 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u$ ．

43．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle 2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$\displaystyle [a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：

$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$

44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，求证：$\displaystyle \forall a>0, \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ ．（重庆师大
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{a}^{y}(y-x)^{n} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{a}^{b}(b-x)^{n+1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x}^{y} f(x) f(y) f(z) \mathrm{d} z=\frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{3}$ ．

45．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$\displaystyle f$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的实函数，试证明：若 $\displaystyle \iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\displaystyle \forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\displaystyle \iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．

46．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有连续的偏导数，且在 $\displaystyle \partial D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上恒为零。求证：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{\pi}{3} \max _{(x, y) \in D}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ 。
（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 上具有非负的一阶连续偏导数，并且在 $\displaystyle D$ 的边界上处处取值为零，证明：$\displaystyle \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ 。

47．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．

48．设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（1）计算 $\displaystyle A=\iint_{D}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} \sigma$ ；（2）设 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，并满足 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ， $\displaystyle \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$ 。证明：$\displaystyle \exists\left(x^{*}, y^{*}\right) \in D$ 使 $\displaystyle \left|f\left(x^{*}, y^{*}\right)\right| \geqslant \frac{1}{A}$ ．

49．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(2 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{R^{2}} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left[x^{2}+(y-x)^{2}+y^{2}\right]} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．